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Intervallschachtelung

April 22nd, 2010

Das Prinzip der Intervallschachtelung gilt ausschließlich bei Ordnungsvollständigkeit, wie im Falle der reellen Zahlen. Sie besagt, dass der Durchschnitt der Gesamtheit von ineinander geschachtelten Intervallen nicht leer ist. Dabei heißt geschachtelt, dass das nächste Intervall immer komplett innerhalb des vorherigen liegen muss.

Seien $I_n = [a_n, b_n] \subseteq \mathbb{R}$ nicht leere Intervalle mit $I_{n+1} \subseteq I_n \ \forall \ n \in \mathbb{N}$ , dann ist $\bigcap I_n \not= \emptyset$ .

Beweis:
$\forall \ n \leq m : I_m \subseteq I_n$ und daher $a_n \leq a_m \leq b_m \leq b_n$ . Damit ist $b_n$ eine obere Grenze (Majorante) von $\{ a_m : m \in \mathbb{N} \}$ , so dass das Supremum $\alpha$ dieser Menge gerade kleiner gleich $b_n$ ist. Andererseits ist dieses Supremum eine untere Grenze (Minorante) von $\{ b_n : n \in \mathbb{N} \}$ und somit kleiner gleich dem Infimum $\beta$ dieser Menge. Das Intervall vom Supremum zum Infimum $[\alpha, \beta]$ ist also nicht leer und darüber hinaus Teilmenge aller Intervalle.

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Definition der reellen Zahlen

April 22nd, 2010

Eine geordnete Menge $(X, \leq)$ ohne kleinstes Element, also nicht nach unten beschränkt, mit der Eigenschaft, dass $\forall x<z \ \exists \ y \in X : x < y < z$ mit $x, z \in X$ , dann kann diese geordnete Menge vervollständigt werden.
Dazu werden sogenannte Dedekindsche Schnitte verwendet:
Eine Menge $\alpha \subseteq X$ heißt Dedekindscher Schnitt in einer geordneten Menge $(X, \leq)$ , falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
1. $\alpha \not= \emptyset$ und $\alpha \not= X$
2. $\forall a \in \alpha, b \in X : b \leq a \Rightarrow b \in \alpha$
2. $\alpha$ besitzt kein Maximum
Zu der geordneten Menge oben ist die ebenfalls geordnete Menge $\chi = \{ \alpha \leq X : \alpha \ Dedekindscher \ Schnitt \}$ mit der Relation $\alpha \subseteq \beta$ eine Ordnungsvervollständigung. Dabei besitzt jede nach oben (unten) beschränkte $A \not= \emptyset$ ein Supremum (Infimum).
Die Funktion $\phi : X \rightarrow \chi, x \mapsto \{ a \in X : a < x \}$ ist eine injektive Abbildung mit den Eigenschaften:
1. $\forall x, y \in X : x \leq y \Leftrightarrow \phi(x) \subseteq \phi(y)$
2. $\forall \alpha, \beta \in \chi : \alpha \subseteq \beta \ \exists \ x \in X : \alpha \subseteq \phi(x) \subseteq \beta$

Da die Menge $A = \{ a \in \mathbb{Q} : a^2 \subseteq 2 \}$ in $\mathbb{Q}$ kein Supremum besitzt, werden die reellen Zahlen als Ordnungsvervollständigung von den rationalen definiert. Somit ist $(\mathbb{R}, \subseteq)$ eine vollständig geordnete Menge, bei der jede nicht leere Menge, die nach oben oder unten beschränkt ist, ein Supremum bzw. Infimum besitzt.

Tags: Dedekindscher Schnitt, Ordnung, Ordnungsvervollständigung, Reelle Zahlen
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Ordnung, Monotonie & Intervalle

February 13th, 2010

Eine Relation R in der Menge X heißt Halbordnung, wenn für x, y, z folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Transitivität: $(x, y) \in R, (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R$
2. Antisymmetrie: $(x, y) \in R, (y, x) \in R \Rightarrow x = y$
Gilt zusätzlich noch:
3. Vergleichbarkeit: $(x, y) \in R \vee (y, x) \in R$
dann spricht man von einer Totalordnung.

Typischerweise werden für Ordnungen die Symbole ≤ und ≥ verwendet, so dass sich für die Regeln am Beispiel ≤ Folgendes ergibt:
1. $x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$
2. $x \leq y, y \leq x \Rightarrow x = y$
3. $x \leq y \vee y \leq x$

In $\mathbb{Z}$ gilt diese Totalordnung n ≤ m, falls $\exists k \in \mathbb{N}_0 : m = n + k$ . Ein Beispiel für eine Halbordnung ist die Relation $A \subseteq B \ in \ \mathbb{P}(M)$ .

In geordneten Mengen gibt es den Begriff der Monotonie. Seien dazu $(X, \leq), (Y, \unlhd)$ zwei geordnete Mengen und $f : X \rightarrow Y$ eine Abbildung, dann gilt für f:
1. f ist monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)$
2. f ist streng monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$
3. f ist monoton fallend, wenn gilt: y < x \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)[/latex]
4. f ist streng monoton fallend, wenn gilt: $y < x \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$

In geordneten Mengen lässt sich der Begriff der Intervalle definieren. Für eine Menge X und $a, b \in X$ gilt:
1. Offenes Interval: $]a, b[ = \{ x \in X : a < x < b \}$
2. Rechts offenes Interval: $[a, b[ = \{ x \in X : a \leq x < b \}$
3. Links offenes Interval: $]a, b] = \{ x \in X : a < x \leq b \}$
4. Geschlossenes Interval: $[a, b] = \{ x \in X : a \leq x \leq b \}$
Manchmal werden solche Intervalle auch mit runden Klammern geschrieben, also z.B. $(a, b) = [a, b]$ .