Das Prinzip der Intervallschachtelung gilt ausschließlich bei Ordnungsvollständigkeit, wie im Falle der reellen Zahlen. Sie besagt, dass der Durchschnitt der Gesamtheit von ineinander geschachtelten Intervallen nicht leer ist. Dabei heißt geschachtelt, dass das nächste Intervall immer komplett innerhalb des vorherigen liegen muss.
Seien nicht leere Intervalle mit
, dann ist
.
Beweis:
und daher
. Damit ist
eine obere Grenze (Majorante) von
, so dass das Supremum
dieser Menge gerade kleiner gleich
ist. Andererseits ist dieses Supremum eine untere Grenze (Minorante) von
und somit kleiner gleich dem Infimum
dieser Menge. Das Intervall vom Supremum zum Infimum
ist also nicht leer und darüber hinaus Teilmenge aller Intervalle.
