Februar 13th, 2010
Eine Relation R in der Menge X heißt Halbordnung, wenn für x, y, z folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Transitivität: (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
2. Antisymmetrie: (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R ⇒ x = y
Gilt zusätzlich noch:
3. Vergleichbarkeit: (x, y) ∈ R oder (y, x) ∈ R
dann spricht man von einer Totalordnung.
Typischerweise werden für Ordnungen die Symbole ≤ und ≥ verwendet, so dass sich für die Regeln am Beispiel ≤ Folgendes ergibt:
1. x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z
2. x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y
3. x ≤ y oder y ≤ x
In ℤ gilt diese Totalordnung n ≤ m, falls ∃ k ∈ № mit m = n + k. Ein Beispiel für eine Halbordnung ist die Relation A ⊆ B in ℙ(M)
In geordneten Mengen gibt es den Begriff der Monotonie. Seien dazu (X, ≤) und (Y, ⋜) zwei geordnete Mengen und f : X → Y eine Abbildung, dann gilt für f:
1. f ist monoton wachsend, wenn gilt: x < y ⇒ f(x) ⋜ f(y)
2. f ist streng monoton wachsend, wenn gilt: x < y ⇒ f(x) ◅ f(y)
3. f ist monoton fallend, wenn gilt: y > x ⇒ f(x) ⋜ f(y)
4. f ist streng monoton fallend, wenn gilt: y > x ⇒ f(x) ◅ f(y)
In geordneten Mengen lässt sich der Begriff der Intervalle definieren. Für eine Menge X und a, b ∈ X gilt:
1. Offenes Interval: ]a, b[ = { x ∈ X : a < x < b }
2. Rechts offenes Interval: [a, b[ = { x ∈ X : a ≤ x < b }
3. Links offenes Interval: ]a, b] = { x ∈ X : a < x ≤ b }
4. Geschlossenes Interval: [a, b] = { x ∈ X : a ≤ x ≤ b }
Manchmal werden solche Intervalle auch mit runden Klammern geschrieben, also z.B. (a, b) = [a, b].
Tags: Intervalle, Monotonie, Ordnung
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Februar 13th, 2010
Die Binomialkoeffizient (n über k) = (n ↧ k) ist die Kardinalität, also die Anzahl an Elementen, eines Systems von k-elementigen Elementen einer n-elementigen Menge N = {1, … , n}. Für beliebige a[k], b[k] ensteht beim Ausmultiplizieren des Produktes von (a[1] + b[1])(a[2] + b[2])…(a[n] + b[n]) eine Summe über alle Produkte ∏(j ∈ E)a[j] ∙ ∏(j ∈ E^c)b[j] mit E ⊆ N. Somit gilt:
∏(k=1 bis n) (a[k] + b[k]) = ∑(E⊆N) ∏(j ∈ E)a[j] ∙ ∏(j ∈ E^c)b[j]
Für a[j] = a und b[j] = b, sowie |E| = k ist der entsprechende Summand (a^k)(b^(n-k)), womit gilt:
∏(k=1 bis n) (a + b) = (a + b)^n = ∑(k=0 bis n)∑(|E|=k) (a^k)(b^(n-k)) =
= ∑(k=0 bis n)|ℙ[k](N)|(a^k)(b^(n-k)) = ∑(k=0 bis n) (n ↧ k)(a^k)(b^(n-k))
Somit gilt kurzgesagt:
(a + b)^n = ∑(k=0 bis n) (n ↧ k)(a^k)(b^(n-k))
Dies ist der sogenannte Binomialsatz, der üblicherweise auch durch Induktion bewiesen wird.
Für n = 2 ergeben sich die binomischen Formeln. Auch die dritte binomische Formel hat eine Verallgemeinerung:
a^(n+1) – b^(n+1) = (a – b)∑(k=0 bis n) (a^k)(b^(n-k))
Tags: Binomialkoeffizient, Binomialsatz, Binomische Formel
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Februar 13th, 2010
Für abelsche Gruppen (K, +) spielt die Summationsreihenfolge bei der Summation endlich vieler Elemente x[k] keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
φ : {1, … , m} → M
Für k ∈ M gilt dann:
∑(k ∈ M) x[k] = x[φ(1)] + … + x[φ(m)]
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit a, b ∈ №. Dann gilt:
∑(k ∈ M) x[k] = ∑(n=a bis b) x[n]
Für M = ∅ gilt ∑(x ∈ ∅) = 0.
Für abelsche Gruppen (K, ∙) spielt die Produktreihenfolge beim Produkt endlich vieler Elemente x[k] keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
φ : {1, … , m} → M
Für k ∈ M gilt dann:
∏(k ∈ M) x[k] = x[φ(1)] ∙ … ∙ x[φ(m)]
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit a, b ∈ №. Dann gilt:
∏(k ∈ M) x[k] = ∏(n=a bis b) x[n]
Für M = ∅ gilt ∏(x ∈ ∅) = 1.
Für Summen und Produkte gilt wegen den Assoziativ- und Kommutativgesetzen:
∑(k ∈ M) (x[k] + y[k]) = (∑(k ∈ M) x[k]) + (∑(k ∈ M) y[k])
∏(k ∈ M) (x[k] + y[k]) = (∏(k ∈ M) x[k]) ∙ (∏(k ∈ M) y[k])
Für einen Körper K und a ∈ K ergeben sich darüber hinaus:
∑(k ∈ M) ax[k] = a∑(k ∈ M) x[k]
∏(k ∈ M) ax[k] = a∏(k ∈ M) x[k]
Für Summen gibt es zwei Tricks, die zur einfacheren Berechnung beitragen können:
1. Summationsreihenfolge ändern
2. Teleskopsumme bilden
1. ∑(n=1 bis m) n = 1 + 2 + 3 + … + n = m + (m-1) + (m-2) + … + 1 = ∑(n=1 bis m) m-(n+1)
⇒ 2∑(n=1 bis m) n = ∑(n=1 bis m) n + ∑(n=1 bis m) m-(n+1) = ∑(n=1 bis m) m+1 = m(m+1)
⇒∑(n=1 bis m) = m(m+1) / 2
2. Kann man ∑(n=1 bis m) x[n] als ∑(n=1 bis m) (y[n]-y[n+1]) nennt man die zweite Summe Teleskopsumme:
∑(n=1 bis m) x[n] = ∑(n=1 bis m) (y[n]-y[n+1]) = y[1] – y[2] + y[2] – y[3] + … + y[n] – y[n+1] =
= y[1] – y[n+1]
Zum Beispiel gilt:
∑(n=1 bis m) (1/n(n+1)) = ∑(n=1 bis m) (1/n – 1/(n+1)) = 1 – 1/(m+1) = m/(m+1)
Eine weitere sehr wichtige Summe ist die geometrische Summe. In einem Körper K mit q ∈ K und n ∈ № gilt:
(1-q)∑(k=0 bis n) q^k = ∑(k=0 bis n) q^k – q^k+1 = 1 – q^(n+1)
Für q ≠ 1 folgt daraus: ∑(k=0 bis n) q^k = (1-q^(n+1)) / (1-q)
Für q = 1 gilt offensichtlich: ∑(k=0 bis n) q^k = n+1 (da die Summe n+1-Summanden umfasst und jedes q^k = 1 ist)
Tags: Endlich, Geometrische Summe, Produkte, Summen, Teleskopsumme
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