Definition of Important Sets

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Definition der reellen Zahlen

Thursday, April 22nd, 2010

Eine geordnete Menge $(X, \leq)$ ohne kleinstes Element, also nicht nach unten beschränkt, mit der Eigenschaft, dass $\forall x<z \ \exists \ y \in X : x < y < z$ mit $x, z \in X$ , dann kann diese geordnete Menge vervollständigt werden.
Dazu werden sogenannte Dedekindsche Schnitte verwendet:
Eine Menge $\alpha \subseteq X$ heißt Dedekindscher Schnitt in einer geordneten Menge $(X, \leq)$ , falls folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
1. $\alpha \not= \emptyset$ und $\alpha \not= X$
2. $\forall a \in \alpha, b \in X : b \leq a \Rightarrow b \in \alpha$
2. $\alpha$ besitzt kein Maximum
Zu der geordneten Menge oben ist die ebenfalls geordnete Menge $\chi = \{ \alpha \leq X : \alpha \ Dedekindscher \ Schnitt \}$ mit der Relation $\alpha \subseteq \beta$ eine Ordnungsvervollständigung. Dabei besitzt jede nach oben (unten) beschränkte $A \not= \emptyset$ ein Supremum (Infimum).
Die Funktion $\phi : X \rightarrow \chi, x \mapsto \{ a \in X : a < x \}$ ist eine injektive Abbildung mit den Eigenschaften:
1. $\forall x, y \in X : x \leq y \Leftrightarrow \phi(x) \subseteq \phi(y)$
2. $\forall \alpha, \beta \in \chi : \alpha \subseteq \beta \ \exists \ x \in X : \alpha \subseteq \phi(x) \subseteq \beta$

Da die Menge $A = \{ a \in \mathbb{Q} : a^2 \subseteq 2 \}$ in $\mathbb{Q}$ kein Supremum besitzt, werden die reellen Zahlen als Ordnungsvervollständigung von den rationalen definiert. Somit ist $(\mathbb{R}, \subseteq)$ eine vollständig geordnete Menge, bei der jede nicht leere Menge, die nach oben oder unten beschränkt ist, ein Supremum bzw. Infimum besitzt.

Tags: Dedekindscher Schnitt, Ordnung, Ordnungsvervollständigung, Reelle Zahlen
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Definition der rationalen Zahlen

Thursday, February 11th, 2010

Für $X = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \backslash \{ 0 \}, R = \{ ((n, m), (p, q)) : nq = pm \}$ ist R eine Äquivalenzrelation, bei der man zwei äquivalente Paare ganzer Zahlen auch verhältnisgleich nennt. Für beispielsweise [(1, 2)] schreibt man dann auch $\frac{1}{2}$ und nennt die Äquivalenzklasse mit z.B. den Repräsentanten $\{ \frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6}, \dots \}$ eine rationale Zahl. Zwei rationale Zahlen $\frac{n}{m}, \frac{p}{q}$ sind genau dann äquivalent und somit gleich, wenn $nq = pm$ . Also zum Beispiel $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ , weil $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$ .

Ist $\mathbb{Q}$ nun der Quotientenraum $X/R = \{ K \subseteq X : \exists x \in X : K = [x] \}$ , also die Zerlegung von X in Äquivalenzklassen, dann sind die beiden folgenden Funktionen wohldefiniert:
$\oplus : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, ((n, m), (p, q)) \mapsto \frac{nq + mp}{mq}$
$\odot : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, ((n, m), (p, q)) \mapsto \frac{np}{mq}$

Tags: Äquivalenzrelation, Brüche, Rationale Zahlen, Relationen, Wohldefiniertheit
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Definition der natürlichen Zahlen

Wednesday, February 10th, 2010

Jede natürliche Zahl kann als Anzahl der Elemente einer Menge aufgefasst werden. Dabei gilt per Definition $0 = \emptyset$ . Eine Menge mit einem Element wird als 1 definiert: $1 = \{ 0 \} = \{ \emptyset \}$ , eine mit zwei Elementen als 2: $2 = \{ 0, 1 \} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} = 1 \cup \{ 1 \}$ . Dies lässt sich für jede Zahl analog fortsetzen, so dass $A+1 = A \cup \{ A \}$ für beliebige A. Das Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre besagt:
$\exists S : \emptyset \in S \wedge A \cup \{ A \} \in S \ \forall A \in S$
Daraus folgt, dass eine Funktion $\varphi$ existiert mit:
$\varphi : S \rightarrow S, A \mapsto A \cup \{ A \}$ .

$M \subseteq S$ heißt induktiv, falls $\varphi(A) \in M \ \forall A \in M$ . Nach Definition gilt daher das S induktiv ist. Das Mengensystem MS der induktiven Teilmengen von S, welche die leere Menge enthalten, ist, da S induktiv ist, nicht leer:
$MS = \{ M \subseteq S : M \ induktiv \wedge \emptyset \in M \}$
Der Durchschnitt dieses Mengensystems $\bigcap MS = \{ x \in X : \forall M \in MS : x \in M \} = \mathbb{N}_0$ ist dann die kleinste induktive Menge mit $0 = \emptyset$ . $\mathbb{N} = \mathbb{N}_0 \backslash \{ 0 \}$ entspricht dann genau den natürlichen Zahlen. Es gilt $n+1 = \varphi(n)$ und daher ist $\mathbb{N}_0 \ bzw. \ \mathbb{N}$ geordnet, da
$n \leq m, \ falls \ \exists k \in \mathbb{N}_0 : m = n + k$ .