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Archive for February, 2010

Ordnung, Monotonie & Intervalle

Saturday, February 13th, 2010

Eine Relation R in der Menge X heißt Halbordnung, wenn für x, y, z folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Transitivität: $(x, y) \in R, (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R$
2. Antisymmetrie: $(x, y) \in R, (y, x) \in R \Rightarrow x = y$
Gilt zusätzlich noch:
3. Vergleichbarkeit: $(x, y) \in R \vee (y, x) \in R$
dann spricht man von einer Totalordnung.

Typischerweise werden für Ordnungen die Symbole ≤ und ≥ verwendet, so dass sich für die Regeln am Beispiel ≤ Folgendes ergibt:
1. $x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$
2. $x \leq y, y \leq x \Rightarrow x = y$
3. $x \leq y \vee y \leq x$

In $\mathbb{Z}$ gilt diese Totalordnung n ≤ m, falls $\exists k \in \mathbb{N}_0 : m = n + k$ . Ein Beispiel für eine Halbordnung ist die Relation $A \subseteq B \ in \ \mathbb{P}(M)$ .

In geordneten Mengen gibt es den Begriff der Monotonie. Seien dazu $(X, \leq), (Y, \unlhd)$ zwei geordnete Mengen und $f : X \rightarrow Y$ eine Abbildung, dann gilt für f:
1. f ist monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)$
2. f ist streng monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$
3. f ist monoton fallend, wenn gilt: y < x \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)[/latex]
4. f ist streng monoton fallend, wenn gilt: $y < x \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$

In geordneten Mengen lässt sich der Begriff der Intervalle definieren. Für eine Menge X und $a, b \in X$ gilt:
1. Offenes Interval: $]a, b[ = \{ x \in X : a < x < b \}$
2. Rechts offenes Interval: $[a, b[ = \{ x \in X : a \leq x < b \}$
3. Links offenes Interval: $]a, b] = \{ x \in X : a < x \leq b \}$
4. Geschlossenes Interval: $[a, b] = \{ x \in X : a \leq x \leq b \}$
Manchmal werden solche Intervalle auch mit runden Klammern geschrieben, also z.B. $(a, b) = [a, b]$ .

Tags: Intervalle, Monotonie, Ordnung
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Binomialsatz

Saturday, February 13th, 2010

Die Binomialkoeffizient ${n \choose k}$ ist die Kardinalität, also die Anzahl an Elementen, eines Systems von k-elementigen Elementen einer n-elementigen Menge $N = \{ 1, \dots , n \}$ . Für beliebige $a_k, b_k$ ensteht beim Ausmultiplizieren des Produktes von $(a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \dots (a_n + b_n)$ eine Summe über alle Produkte $\prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j}, E \subseteq N$ . Somit gilt:
$\prod_{k=1}^n{(a_k + b_k)} = \sum_{E \subseteq N} {( \prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j})}$
Für $a_j = a, b_j = b, \mid E \mid = k$ ist der entsprechende Summand $a^kb^{n-k}$ , womit gilt:
$\prod_{k=1}^n{(a + b)} = (a + b)^n = \sum_{k=0}^n{ \sum_{\mid E \mid=k}{a^kb^{n-k}}}$
$= \sum_{k=0}^n{ \mid \mathbb{P}_k(N) \mid a^kb^{n-k}} = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}$
Somit gilt kurzgesagt:
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}$
Dies ist der sogenannte Binomialsatz, der üblicherweise auch durch Induktion bewiesen wird.
Für n = 2 ergeben sich die binomischen Formeln. Auch die dritte binomische Formel hat eine Verallgemeinerung:
$a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b) \sum_{k=0}^n{a^kb^{n-k}}$

Tags: Binomialkoeffizient, Binomialsatz, Binomische Formel
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Endliche Summen und Produkte

Saturday, February 13th, 2010

Für abelsche Gruppen (K, +) spielt die Summationsreihenfolge bei der Summation endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\sum_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} + \dots + x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\sum_{k \in M}{x_k} = \sum_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\sum_{x \in \emptyset}{x} = 0$ .

Für abelsche Gruppen (K, ∙) spielt die Produktreihenfolge beim Produkt endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\prod_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} \cdot \dots \cdot x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\prod_{k \in M}{x_k} = \prod_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\prod_{x \in \emptyset}{x} = 1$ .

Für Summen und Produkte gilt wegen den Assoziativ- und Kommutativgesetzen:
$\sum_{k \in M}{x_k + y_k} = (\sum_{k \in M}{x_k}) + (\sum_{k \in M}{y_k})$
$\prod_{k \in M}{x_k + y_k} = (\prod_{k \in M}{x_k}) \cdot (\prod_{k \in M}{y_k})$
Für einen Körper K und $a \in K$ ergeben sich darüber hinaus:
$\sum_{k \in M}{ax_k} = a \sum_{k \in M}{x_k}$
$\prod_{k \in M}{ax_k} = a \prod_{k \in M}{x_k}$

Für Summen gibt es zwei Tricks, die zur einfacheren Berechnung beitragen können:
1. Summationsreihenfolge ändern
2. Teleskopsumme bilden

1. $\sum_{n=1}^m{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = m + (m - 1) + (m - 2) + \dots + 1 = \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)}$
$\Rightarrow 2\sum_{n=1}^m{n} = \sum_{n=1}^m{n} + \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)} = \sum_{n=1}^m{m + 1} = m(m + 1)$
$\Rightarrow \sum_{n=1}^m{n} = \frac{m(m + 1)}{2}$

2. Kann man $\sum_{n=1}^m{x_n}$ als $\sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})}$ schreiben, nennt man die zweite Summe Teleskopsumme:
$\sum_{n=1}^m{x_n} = \sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})} = y_1 - y_2 + y_2 - y_3 + \dots + y_n - y_{n+1} = y_1 - y_{n+1}$
Zum Beispiel gilt:
$\sum_{n=1}^m{\frac{1}{n(n + 1)}} = \sum_{n=1}^m{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$

Eine weitere sehr wichtige Summe ist die geometrische Summe. In einem Körper K mit $q \in K, n \in \mathbb{N}_0$ gilt:
$(1 - q) \sum_{k=0}^n{q^k} = (\sum_{k=0}^n{q^k}) - q^k + 1 = 1 - q^{n + 1}$
Für q ≠ 1 folgt daraus:
$\sum_{k=0}^n{q^k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Für q = 1 gilt offensichtlich: $\sum_{k=0}^n{q^k} = n + 1$ (da die Summe n+1-Summanden umfasst und jedes $q^k = 1$ ist)