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Binomialsatz

Die Binomialkoeffizient {n \choose k} ist die Kardinalität, also die Anzahl an Elementen, eines Systems von k-elementigen Elementen einer n-elementigen Menge N = \{ 1, \dots , n \}. Für beliebige a_k, b_k ensteht beim Ausmultiplizieren des Produktes von (a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \dots (a_n + b_n) eine Summe über alle Produkte \prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j}, E \subseteq N. Somit gilt:
\prod_{k=1}^n{(a_k + b_k)} = \sum_{E \subseteq N} {( \prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j})}
Für a_j = a, b_j = b, \mid E \mid = k ist der entsprechende Summand a^kb^{n-k}, womit gilt:
\prod_{k=1}^n{(a + b)} = (a + b)^n = \sum_{k=0}^n{ \sum_{\mid E \mid=k}{a^kb^{n-k}}}
= \sum_{k=0}^n{ \mid \mathbb{P}_k(N) \mid a^kb^{n-k}} = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}
Somit gilt kurzgesagt:
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}
Dies ist der sogenannte Binomialsatz, der üblicherweise auch durch Induktion bewiesen wird.
Für n = 2 ergeben sich die binomischen Formeln. Auch die dritte binomische Formel hat eine Verallgemeinerung:
a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b) \sum_{k=0}^n{a^kb^{n-k}}

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This entry was posted on Saturday, February 13th, 2010 at 18:11 and is filed under Analysis, Mathematics. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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