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Ordnung, Monotonie & Intervalle

Eine Relation R in der Menge X heißt Halbordnung, wenn für x, y, z folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Transitivität: (x, y) \in R, (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R
2. Antisymmetrie: (x, y) \in R, (y, x) \in R \Rightarrow x = y
Gilt zusätzlich noch:
3. Vergleichbarkeit: (x, y) \in R \vee (y, x) \in R
dann spricht man von einer Totalordnung.

Typischerweise werden für Ordnungen die Symbole ≤ und ≥ verwendet, so dass sich für die Regeln am Beispiel ≤ Folgendes ergibt:
1. x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z
2. x \leq y, y \leq x \Rightarrow x = y
3. x \leq y \vee y \leq x

In \mathbb{Z} gilt diese Totalordnung n ≤ m, falls \exists k \in \mathbb{N}_0 : m = n + k. Ein Beispiel für eine Halbordnung ist die Relation A \subseteq B \ in \ \mathbb{P}(M).

In geordneten Mengen gibt es den Begriff der Monotonie. Seien dazu (X, \leq), (Y, \unlhd) zwei geordnete Mengen und f : X \rightarrow Y eine Abbildung, dann gilt für f:
1. f ist monoton wachsend, wenn gilt: x < y \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)
2. f ist streng monoton wachsend, wenn gilt: x < y \Rightarrow f(x) \lhd f(y)
3. f ist monoton fallend, wenn gilt: y < x \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)[/latex]
4. f ist streng monoton fallend, wenn gilt: y < x \Rightarrow f(x) \lhd f(y)

In geordneten Mengen lässt sich der Begriff der Intervalle definieren. Für eine Menge X und a, b \in X gilt:
1. Offenes Interval: ]a, b[ = \{ x \in X : a < x < b \}
2. Rechts offenes Interval: [a, b[ = \{ x \in X : a \leq x < b \}
3. Links offenes Interval: ]a, b] = \{ x \in X : a < x \leq b \}
4. Geschlossenes Interval: [a, b] = \{ x \in X : a \leq x \leq b \}
Manchmal werden solche Intervalle auch mit runden Klammern geschrieben, also z.B. (a, b) = [a, b].

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This entry was posted on Saturday, February 13th, 2010 at 20:39 and is filed under Analysis, Linear Algebra, Mathematics. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

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