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Binomialsatz

February 13th, 2010

Die Binomialkoeffizient ${n \choose k}$ ist die Kardinalität, also die Anzahl an Elementen, eines Systems von k-elementigen Elementen einer n-elementigen Menge $N = \{ 1, \dots , n \}$ . Für beliebige $a_k, b_k$ ensteht beim Ausmultiplizieren des Produktes von $(a_1 + b_1)(a_2 + b_2) \dots (a_n + b_n)$ eine Summe über alle Produkte $\prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j}, E \subseteq N$ . Somit gilt:
$\prod_{k=1}^n{(a_k + b_k)} = \sum_{E \subseteq N} {( \prod_{j \in E}{a_j} \cdot \prod_{j \in E^c}{b_j})}$
Für $a_j = a, b_j = b, \mid E \mid = k$ ist der entsprechende Summand $a^kb^{n-k}$ , womit gilt:
$\prod_{k=1}^n{(a + b)} = (a + b)^n = \sum_{k=0}^n{ \sum_{\mid E \mid=k}{a^kb^{n-k}}}$
$= \sum_{k=0}^n{ \mid \mathbb{P}_k(N) \mid a^kb^{n-k}} = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}$
Somit gilt kurzgesagt:
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n{{n \choose k} a^kb^{n-k}}$
Dies ist der sogenannte Binomialsatz, der üblicherweise auch durch Induktion bewiesen wird.
Für n = 2 ergeben sich die binomischen Formeln. Auch die dritte binomische Formel hat eine Verallgemeinerung:
$a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b) \sum_{k=0}^n{a^kb^{n-k}}$

Tags: Binomialkoeffizient, Binomialsatz, Binomische Formel
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Endliche Summen und Produkte

February 13th, 2010

Für abelsche Gruppen (K, +) spielt die Summationsreihenfolge bei der Summation endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\sum_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} + \dots + x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\sum_{k \in M}{x_k} = \sum_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\sum_{x \in \emptyset}{x} = 0$ .

Für abelsche Gruppen (K, ∙) spielt die Produktreihenfolge beim Produkt endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\prod_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} \cdot \dots \cdot x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\prod_{k \in M}{x_k} = \prod_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\prod_{x \in \emptyset}{x} = 1$ .

Für Summen und Produkte gilt wegen den Assoziativ- und Kommutativgesetzen:
$\sum_{k \in M}{x_k + y_k} = (\sum_{k \in M}{x_k}) + (\sum_{k \in M}{y_k})$
$\prod_{k \in M}{x_k + y_k} = (\prod_{k \in M}{x_k}) \cdot (\prod_{k \in M}{y_k})$
Für einen Körper K und $a \in K$ ergeben sich darüber hinaus:
$\sum_{k \in M}{ax_k} = a \sum_{k \in M}{x_k}$
$\prod_{k \in M}{ax_k} = a \prod_{k \in M}{x_k}$

Für Summen gibt es zwei Tricks, die zur einfacheren Berechnung beitragen können:
1. Summationsreihenfolge ändern
2. Teleskopsumme bilden

1. $\sum_{n=1}^m{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = m + (m - 1) + (m - 2) + \dots + 1 = \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)}$
$\Rightarrow 2\sum_{n=1}^m{n} = \sum_{n=1}^m{n} + \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)} = \sum_{n=1}^m{m + 1} = m(m + 1)$
$\Rightarrow \sum_{n=1}^m{n} = \frac{m(m + 1)}{2}$

2. Kann man $\sum_{n=1}^m{x_n}$ als $\sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})}$ schreiben, nennt man die zweite Summe Teleskopsumme:
$\sum_{n=1}^m{x_n} = \sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})} = y_1 - y_2 + y_2 - y_3 + \dots + y_n - y_{n+1} = y_1 - y_{n+1}$
Zum Beispiel gilt:
$\sum_{n=1}^m{\frac{1}{n(n + 1)}} = \sum_{n=1}^m{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$

Eine weitere sehr wichtige Summe ist die geometrische Summe. In einem Körper K mit $q \in K, n \in \mathbb{N}_0$ gilt:
$(1 - q) \sum_{k=0}^n{q^k} = (\sum_{k=0}^n{q^k}) - q^k + 1 = 1 - q^{n + 1}$
Für q ≠ 1 folgt daraus:
$\sum_{k=0}^n{q^k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Für q = 1 gilt offensichtlich: $\sum_{k=0}^n{q^k} = n + 1$ (da die Summe n+1-Summanden umfasst und jedes $q^k = 1$ ist)

Tags: Endlich, Geometrische Summe, Produkte, Summen, Teleskopsumme
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Abelsche Gruppen & Körper

February 13th, 2010

Eine Menge M zusammen mit einer Funktion $\diamondsuit : M \times M \rightarrow M, (x, y) \mapsto x \diamondsuit y$ ist eine abelsche Gruppe $(M, \diamondsuit)$ , falls gilt:
1. Kommutativität: $x \diamondsuit y = y \diamondsuit x$
2. Assoziativität: $(x \diamondsuit y) \diamondsuit z = x \diamondsuit (y \diamondsuit z)$
3. Neutrales Element e: $e \diamondsuit x = x$
4. Inverses Element $x^{-1}$ : $x \diamondsuit x^{-1} = e$

Eine Menge K zusammen mit zwei Funktionen + und ∙ $K \times K \rightarrow K$ und zwei verschiedenen neutralen Elementen 0 und 1 heißt Körper, wenn gilt:
1. (K, +) ist abelsche Gruppen mit neutralem Element 0
2. (K \ {0}, ∙) ist abelsche Gruppen mit neutralem Element 1
3. Für alle $x, y, z \in K$ gilt das Distributivgesetz $x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$
Das inverse Element bzgl. der Addition wird allgemein mit $x^{-1} = -x$ bezeichnet, das für die Multiplikation mit $x^{-1} = \frac{1}{x}$ .

Für einen Körper und $x, y, z \in K$ gilt:
1. $x + y = x + z \Rightarrow y = z$
2. $0x = 0$
3. $xy = xz \Rightarrow x = 0 \vee y = z$
4. $(-x)y = -(xy), (-x)(-z) = xz$

Beweise:
1. $x + y = x + z \Leftrightarrow -x + x + y = -x + x + z \Leftrightarrow 0 + y = 0 + z \Leftrightarrow y = z$
2. $0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0 \Rightarrow 0x = 0$ (wegen 1.)
3. Für x = 0 folgt aus 2. 0 = 0, für x ≠ 0 gilt $xy = xz \Leftrightarrow \frac{1}{x}xy = \frac{1}{x}xz \Leftrightarrow 1y = 1z \Leftrightarrow y = z$
4. $(-x)y = -(xy) \Leftrightarrow (-x)y + (-(xy) = 0 \Leftrightarrow (-x)y + xy = 0 \Leftrightarrow y (-x + x) = 0$
$\Leftrightarrow y0 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$
Die zweite Aussage folgt aus der ersten:
$(-x)(-z) = -(x(-z)) = -((-z)x) = -(-(xz)) = xz$