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Ordnung, Monotonie & Intervalle

Saturday, February 13th, 2010

Eine Relation R in der Menge X heißt Halbordnung, wenn für x, y, z folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Transitivität: $(x, y) \in R, (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R$
2. Antisymmetrie: $(x, y) \in R, (y, x) \in R \Rightarrow x = y$
Gilt zusätzlich noch:
3. Vergleichbarkeit: $(x, y) \in R \vee (y, x) \in R$
dann spricht man von einer Totalordnung.

Typischerweise werden für Ordnungen die Symbole ≤ und ≥ verwendet, so dass sich für die Regeln am Beispiel ≤ Folgendes ergibt:
1. $x \leq y, y \leq z \Rightarrow x \leq z$
2. $x \leq y, y \leq x \Rightarrow x = y$
3. $x \leq y \vee y \leq x$

In $\mathbb{Z}$ gilt diese Totalordnung n ≤ m, falls $\exists k \in \mathbb{N}_0 : m = n + k$ . Ein Beispiel für eine Halbordnung ist die Relation $A \subseteq B \ in \ \mathbb{P}(M)$ .

In geordneten Mengen gibt es den Begriff der Monotonie. Seien dazu $(X, \leq), (Y, \unlhd)$ zwei geordnete Mengen und $f : X \rightarrow Y$ eine Abbildung, dann gilt für f:
1. f ist monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)$
2. f ist streng monoton wachsend, wenn gilt: $x < y \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$
3. f ist monoton fallend, wenn gilt: y < x \Rightarrow f(x) \unlhd f(y)[/latex]
4. f ist streng monoton fallend, wenn gilt: $y < x \Rightarrow f(x) \lhd f(y)$

In geordneten Mengen lässt sich der Begriff der Intervalle definieren. Für eine Menge X und $a, b \in X$ gilt:
1. Offenes Interval: $]a, b[ = \{ x \in X : a < x < b \}$
2. Rechts offenes Interval: $[a, b[ = \{ x \in X : a \leq x < b \}$
3. Links offenes Interval: $]a, b] = \{ x \in X : a < x \leq b \}$
4. Geschlossenes Interval: $[a, b] = \{ x \in X : a \leq x \leq b \}$
Manchmal werden solche Intervalle auch mit runden Klammern geschrieben, also z.B. $(a, b) = [a, b]$ .