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Endliche Summen und Produkte

Saturday, February 13th, 2010

Für abelsche Gruppen (K, +) spielt die Summationsreihenfolge bei der Summation endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\sum_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} + \dots + x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\sum_{k \in M}{x_k} = \sum_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\sum_{x \in \emptyset}{x} = 0$ .

Für abelsche Gruppen (K, ∙) spielt die Produktreihenfolge beim Produkt endlich vieler Elemente $x_k$ keine Rolle. Sei M also eine endlich Menge mit |M| = m, dann gibt es eine Bijektion:
$\varphi : \{ 1, \dots , m \} \rightarrow M$
Für $k \in M$ gilt dann:
$\prod_{k \in M}{x_k} = x_{\varphi(1)} \cdot \dots \cdot x_{\varphi(m)}$
Oftmals sind die Elemente aus M eine Spanne von Zahlen a bis b mit $a, b \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt:
$\prod_{k \in M}{x_k} = \prod_{n=a}^b{x_n}$
Für $M = \emptyset$ gilt $\prod_{x \in \emptyset}{x} = 1$ .

Für Summen und Produkte gilt wegen den Assoziativ- und Kommutativgesetzen:
$\sum_{k \in M}{x_k + y_k} = (\sum_{k \in M}{x_k}) + (\sum_{k \in M}{y_k})$
$\prod_{k \in M}{x_k + y_k} = (\prod_{k \in M}{x_k}) \cdot (\prod_{k \in M}{y_k})$
Für einen Körper K und $a \in K$ ergeben sich darüber hinaus:
$\sum_{k \in M}{ax_k} = a \sum_{k \in M}{x_k}$
$\prod_{k \in M}{ax_k} = a \prod_{k \in M}{x_k}$

Für Summen gibt es zwei Tricks, die zur einfacheren Berechnung beitragen können:
1. Summationsreihenfolge ändern
2. Teleskopsumme bilden

1. $\sum_{n=1}^m{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n = m + (m - 1) + (m - 2) + \dots + 1 = \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)}$
$\Rightarrow 2\sum_{n=1}^m{n} = \sum_{n=1}^m{n} + \sum_{n=1}^m{m - (n + 1)} = \sum_{n=1}^m{m + 1} = m(m + 1)$
$\Rightarrow \sum_{n=1}^m{n} = \frac{m(m + 1)}{2}$

2. Kann man $\sum_{n=1}^m{x_n}$ als $\sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})}$ schreiben, nennt man die zweite Summe Teleskopsumme:
$\sum_{n=1}^m{x_n} = \sum_{n=1}^m{(y_n - y_{n+1})} = y_1 - y_2 + y_2 - y_3 + \dots + y_n - y_{n+1} = y_1 - y_{n+1}$
Zum Beispiel gilt:
$\sum_{n=1}^m{\frac{1}{n(n + 1)}} = \sum_{n=1}^m{\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}} = 1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$

Eine weitere sehr wichtige Summe ist die geometrische Summe. In einem Körper K mit $q \in K, n \in \mathbb{N}_0$ gilt:
$(1 - q) \sum_{k=0}^n{q^k} = (\sum_{k=0}^n{q^k}) - q^k + 1 = 1 - q^{n + 1}$
Für q ≠ 1 folgt daraus:
$\sum_{k=0}^n{q^k} = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$
Für q = 1 gilt offensichtlich: $\sum_{k=0}^n{q^k} = n + 1$ (da die Summe n+1-Summanden umfasst und jedes $q^k = 1$ ist)